2016-03-16   math 

100分の1の確率でアタリが出るくじを100回引いたとき、100回すべてがハズレになる確率を求めよ。

問題

解答

\(1\)回目で、ハズレになる確率は、 \[ 0.99 \] である。

\(1\)回目でハズレになり、さらに\(2\)回目でもハズレになる確率は、 \[ 0.99 \times 0.99 = 0.99^2 = 0.9801 \] である(前提:毎回の試行の独立性)。

\(1\)回目から\(100\)回目までずっとハズレ続ける確率は、 \[ \underbrace{0.99 \times 0.99 \times \cdots \times 0.99}_{\text{$100$個の積}} = 0.99^{100} = 0.3660\cdots \] である。

補足

ところで「\(100\)分の\(1\)の確率でアタリが出るくじを\(100\)回引いたんだから、 \(1\)回くらいは出そうなものだ」という感覚は何だろうか。

《このくじを\(100\)回引く》ということをたくさん繰り返したとき「アタリが出る回数」の平均値は\(1\)になる。 つまり「アタリが出る回数」の期待値は\(1\)である(二項分布の期待値)。これと混同しているのかもしれない。

参照

メモ

poolがくじの箱。'!'がアタリ、'.'がハズレ。result\(100\)回くじを引いた結果。

import pandas as pd
import numpy.random as np
import matplotlib.pyplot as plt

trials = 100
np.seed(314)
pool = ['!'] + ['.'] * 99
result = [pool[np.randint(low=0,high=len(pool))] for i in range(trials)]
print(result)
 2016-03-16   math