\(f\)を、位相空間\(X\)から位相空間\(Y\)への連続写像とする。 位相空間\(X\)が連結ならば、像\(f(X)\)は連結である。
\(f(X)\)が連結ではないと仮定し、矛盾を導く。 連結の定義により位相空間\(f(X)\)を分離する開集合が存在するので、それらを\(U,V\)とする。 このとき、 \[ U \cap V = \phi, \quad U \cup V \supset f(X), \quad U \cap f(X) \neq \phi, \quad V \cap f(X) \neq \phi \quad \] である。 \(f\)が連続写像であることから、連続写像の定義により開集合\(U,V\)の逆像も開集合になるので、それぞれ\(A,B\)とする。
（補足）\(A,B\)は、\(A = \{ a \in X | \exists u \in U, f(a) = u \},B = \{ b \in X | \exists v \in V, f(b) = v \}\)と定義される。
このとき、\(U \supset f(A), V \supset f(B)\)なので、 \[ U \cap V \supset f(A) \cap f(B) \] がいえる。
（補足）\(U \supset f(A)\)になるのはなぜかというと、\(A\)の定義より\(A\)の任意の元\(a\)に対して、\(f(a) \in U\)といえるからである。\(V \supset f(B)\)も同様に考える。
ここで、\(U \cap f(X) \neq \phi, V \cap f(X) \neq \phi\)から、\(A \neq \phi, B \neq \phi\)である。 また、\(U \cup V \supset f(X)\)であるから\(A \cup B = X\)がいえる。
\(U \cup V \supset f(X)\)から\(X\)の任意の元\(x\)に対して\(f(x) \in U \cup V\)がいえ、\(f(x) \in U\)または\(f(x) \in V\)がいえる。これは\(x \in A\)または\(x \in B\)すなわち\(x \in A \cup B\)にほかならない。よって、\(A \cup B \supset X\)である。もともと\(A \cup B \subset X\)であるから、\(A \cup B = X\)がいえた。
位相空間\(X\)は連結であるから、 \[ A \cap B \neq \phi \] である。
（補足）\(A,B\)はどちらも空集合ではない開集合で、\(A \cup B = X\)なのだから、連結の定義より、\(A \cap B \neq \phi\)でなければならない。さもないと、\(X\)が\(A\)と\(B\)によって分離されてしまい、連結ではなくなってしまう。
以上より、\(U \cap V \supset f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \neq \phi\)がいえる。すなわち、 \[ U \cap V \neq \phi \] である。これは、 \[ U \cap V = \phi \] に矛盾する。したがって、\(f(X)\)は連結である。
（証明終わり）